On the regularity of stochastic currents, fractional Brownian motion and applications to a turbulence model

Abstract

Nous étudions la régularité trajectorielle de l’opérateur $$φ↦I(φ)=∫_0^T〈φ(X_t),\mathrm{d}X_t〉,$$ où φ est une fonction vectorielle à valeurs dans ℝd appartenant à un certain espace de Banach V, X est un processus stochastique et l’intégrale est une certaine version d’une intégrale stochastique définie via régularisation. Une version continue d’un tel opérateur, interprétée comme une variable aléatoire à valeurs dans le dual topologique de V sera appelée courant stochastique. Nous donnons des conditions suffisantes pour que le courant se situe dans un certain espace de Sobolev de distributions. De plus nous donnons des arguments qui permettent de conjecturer que ces conditions sont aussi nécessaires. Successivement nous vérifions la validité de ces conditions lorsque le processus X est un mouvement brownien fractionnaire (mbf) d-dimensionnel; en particulier, nous identifions la régularité de Sobolev pour un mbf d’indice de Hurst H∈(1/4, 1). Par suite, nous fournissons quelques résultats sur la régularité générale de Sobolev de courants relative à un mouvement brownien standard. Enfin nous discutons une application à un modèle de filaments de vorticité dans un fluide turbulent.

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