Rational Hedging and Valuation with Utility-Based Preferences

Abstract

Die vorliegende Arbeit behandelt stochastische Optimierungsprobleme, in denen ein konkaves Funktional über einem Raum von stochastischen Integralen maximiert wird. In der Finanzmathematik treten derartige Probleme bei der Behandlung von Bewertungs-, Absicherungs-, und Anlageproblemen in unvollständigen Finanzmärkten auf. Wir beschäftigen uns vornehmlich mit nutzenbasierten Methoden zur Bewertung und Absicherung von zufallsbehafteten Finanzpositionen, welche unvermeidbare intrinsische Risiken beinhalten. Wir betrachten das Problem aus der Perspektive eines rationalen Investors, dessen Ziel die Maximierung seines erwarteten exponentiellen Nutzens ist. Ausgehend von diesen Präferenzen, definieren wir mittels Nutzenindifferenz-Argumenten seinen Bewertungsprozess und eine Absicherungsstrategie. In einem Semimartingalmodell kann die Lösung durch ein stochastisches Darstellungsproblem charakterisiert werden. Um das Problem zu lösen, gilt es ein Martingalmaß zu finden, dessen Dichteprozess eine bestimmte Form hat. Im Weiteren untersuchen wir zwei Modelle, welche gewissen strukturellen Bedingungen genügen. In einem halbvollständigen Produktmodell wird gezeigt, dass die Nutzenindifferenz-Bewertungs- und Absicherungsmethode additiv ist, wenn sie auf ein Aggregat von ''genügend unabhängigen'' Positionen angewandt wird. Wir untersuchen Diversifikationseffekte und leiten ein Berechnungsschema her. Für das zweite Modell betrachten wir ein Markovsches System stochastischer Differentialgleichungen, welches einen Ito-Prozess und einen weiteren Prozess mit endlichem Zustandsraum beschreibt und verschiedene wechselseitige Abhängigkeiten zulässt. In unserem Marktmodell stellt der Ito-Prozess die Preise der riskanten Anlagen dar während der zweite Prozess irgendwelche nicht handelbaren Risikofaktoren repräsentiert. Die Lösung des Bewertungs- und Absicherungsproblems wird durch ein wechselwirkenendes System semilinearer partieller Differentialgleichungen, eine so genannte Reaktions-Diffusions Gleichung, beschrieben. Mittels Feynman-Kac Resultaten und der Iterationstechnik von Picard zeigen wir Existenz und Eindeutigkeit einer klassischen Lösung. Ergänzend zu unserem Hauptthema nutzen wir ein ähnliches Indifferenzargument um den Wert von zusätzlichen Anlage-Informationen zu quantifizieren. Die wesentlichen Mittel sind eine Martingal erhaltende Maß transformation und Martingal-Darstellungsresultate für anfangsvergröß erte Filtrationen. Schließlich zeigen wir, dass das so genannte Numeraire-Portfolio mit einer weiteren nutzenbasierten Bewertungsmethode zusammenhängt, welche sich auf ein Grenznutzenargument stützt und als Grenzfall der Indifferenz-Methode angesehen werden kann.

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