Maximal inequalities for stochastic convolutions driven by compensated Poisson random measures in Banach spaces

Abstract

On considère un espace de Banach $(E,\|\cdot\|)$ tel que, pour $q\geq2$, la fonction $x\mapsto\|x\|^{q}$ est de classe $C^{2}$ avec des dérivées $k$ième, $k=1,2$, au sens de Fréchet bornées par des constantes multiples de la puissance $(q-k)$ de la norme. On considère également un $C_{0}$-semigroupe de contraction $S$ sur $(E,\|\cdot\|)$. Finalement, on considère une mesure de Poisson compensée $\tilde{N}$ sur un espace mesurable $(Z,\mathcal{Z})$. On étudie le processus stochastique suivant : \[u(t)=\int_{0}^{t}\!\int_{Z}S(t-s)\xi(s,z)\tilde{N}(\mathrm{d}s,\mathrm{d} z),\quad t\geq0,\] où $\xi:[0,\infty[\times\Omega\times Z\rightarrow E$ est une fonction $\mathbb{F}\otimes\mathcal{Z}$-prévisible. On prouve qu’il existe une modification càdlàg $\tilde{u}$ du processus $u$ qui vérifie l’inégalité de type maximale suivante : \[\mathbb{E}\sup_{0\leq s\leq t}\|\tilde{u}(s)\|^{q^{\prime}}\leq C\mathbb{E}(\int_{0}^{t}\!\int_{Z}\|\xi(s,z)\|^{p}N(\mathrm{d}s,\mathrm{d}z))^{\frac{q^{\prime}}{p}},\] pour tout $q^{\prime}\geq q$ et $1

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